РЕШЕНИЕ:



∠ ABC вписанный опирается на дугу АС

∠ ABC вписанный угол = 1/2 дуги АC

На дугу АС опирается центральный угол АОС = 45⁰

Дуга АС = 45⁰

∠ ABC вписанный угол = 1/2 дуги АC = 45/2 = 22,5

Ответ: 22,5

РЕШЕНИЕ:



Дуга ВС опирается на центральный угол ВОС = 90⁰ + 45⁰ = 135⁰

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается

Дуга ВС = 135⁰

Ответ: 135

РЕШЕНИЕ:



Возможны два случая.

1 случай точки M и N расположены по одну сторону от отрезка О₁О₂
Проведем MF || О₁О₂

Рассмотрим ∆MFN

∠F = 180⁰ - ∠MFN' = 180⁰ - 120⁰⁰ = 60⁰⁰

MF = 15 - 1 = 14

FN = 15 - 1 = 14

MF = FN' , треугольник ∆MFN' равнобедренный. Углы при основании равны ∠M = ∠N'. Так как ∠F = 60⁰

∠M + ∠N' = 2 ∠M = 180⁰ - ∠F = 180⁰ - 60⁰ = 120⁰

∠M = 60⁰

∠M = ∠N' = 60⁰

∆MFN' равносторонний ⇒ MN' = 14

2 случай точки M и N' расположены по разные стороны от отрезка О₁О₂
Рассмотрим ∆MFN'

∠F = 120⁰

MF = 15 - 1 = 14

N'F = 15 + 1 = 16

по теореме косинусов MN'² = MF² + N'F² - 2 ∙ MF ∙ N'F cos∠F =

= 14² + 16² - 2 ∙ 14 ∙ 16 cos∠120⁰ = 196 + 256 − 2 · 14 · 16 ·(-1/2) = 676

MN' = √676 = 26

Ответ: 14 или 26

РЕШЕНИЕ:



Площадь внутреннего круга S= π R²

Площадь внешнего круга S= π (2R)² = 4π R²

Площадь заштрихованной фигуры получается разностью площадей внешнего и внутреннего круга

4π R² - π R² = 3π R²

Площадь внутреннего круга равна 51 ⇒ S= π R² = 51 ⇒ R² = 51/π

3π R² = 3π ∙ 51/π = 3 ∙ 51 = 153

Ответ: 153

РЕШЕНИЕ:



Площадь внутреннего круга S= π R²

Площадь внешнего круга S= π (2R)² = 4π R²

Площадь заштрихованной фигуры получается разностью площадей внешнего и внутреннего круга

4π R² - π R² = 3π R²

Площадь внутреннего круга равна 1 ⇒ S= π R² = 1 ⇒ R² = 1/π

3π R² = 3π ∙ 1/π = 3 ∙ 1 = 3

Ответ: 3

РЕШЕНИЕ:



Площадь внутреннего круга S= π R² = π (3x)² = 9 π x²

Площадь внешнего круга S= π R² = π (4x)² = 16 π x²

Площадь заштрихованной фигуры получается разностью площадей внешнего и внутреннего круга

16 π x² - 9 π x² = 7 π x²

Площадь внутреннего круга равна 9 ⇒ S= 9 π x²= 9 ⇒ π x² = 1

7 π x² = 7 ∙ 1 = 7

Ответ: 7